sexta-feira, 23 de dezembro de 2011

ANPEC 2000 - Prova de Estatística - Questão 1 resolvida

Promessa é dívida...

Vamos à solução comentada da 1a questão de estatística da prova da ANPEC de 2000. Quero principalmente saber se vou ter problemas ao postar figuras, símbolos, etc...

Como já previa, os símbolos não aparecem, então tenho que fazer umas adaptações, inclusive porque o Blogger não me deixa usar a fonte "Symbol" (na verdade, ele tem vontade própria, pois quando EU quero usar a fonte Symbol ele não deixa, e quando não quero, ele coloca as letras nessa fonte, vai entender!)

Se alguém souber como resolver este imbroglio (sem transformar tudo para figura) agradeço!


QUESTÃO 01
Considere a terna (S,Sigma,P), em que S diferente do vazio é o conjunto Universo, Sigma é o conjunto dos possíveis eventos e, P  é uma medida de probabilidade. Verifique quais das afirmativas abaixo são verdadeiras (V) e quais são falsas (F):
(0)   Se dois eventos são disjuntos, eles serão também independentes.
(1)  Para dois eventos quaisquer  A e B,  Prob (A) = Prob (A intersecao Bc) + Prob (A  intersecao  B), em que Bc é o complemento de B.
(2)    Sejam dois eventos A e B, em que Prob (A) = 1/2 e Prob (B) = 1/3. Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então Prob (B intersecao  Ac) é igual a 1/6.
(3)    Sejam os eventos A, B e C,  tais que Prob (A  intersecao B  intersecao  C) = Prob(A). Prob(B). Prob(C). Pode-se então afirmar que estes eventos são independentes.

SOLUÇÃO
Esta é uma questão simples, que envolve apenas que você conheça as definições de probabilidade, eventos disjuntos e eventos independentes.

Item (0) - FALSO
O que são eventos disjuntos? São aqueles cuja interseção é o conjunto vazio, ou seja, que não têm elementos em comum. E se você se lembrar da definição de probabilidades, sabe que a prob. do conjunto vazio é zero. Então para dois eventos disjunto A e B:  

E os independentes? A definição aí já tem uma “cara” mais probabilística e menos matemática .... Independência quer dizer que a ocorrência de um evento não afeta a probabilidade de ocorrência do outro (e vice-versa). Como escrever isso? A definição é:
A e B são eventos independentes se Prob (A intersecao B) = Pr(A). Pr(B) e não necessariamente este produto é zero.

Item (1) – VERDADEIRO

O que está sendo dito aqui é que B e Bc formam uma partição do espaço amostral, o que sempre ocorre. Então A pode ser escrito como a união de duas interseções que são mutuamente exclusivas (isto é disjuntas). Ou seja, a prob. de A será a soma das probs. destas duas interseções.

Fica muito mais fácil mostrar isso numa figurinha que escrever....



Da figura fica fácil notar que:
Mas, os eventos  (A  intersecao Bc) e (A intersecao B) são mutuamente exclusivos, então a prob. da sua união é a soma das suas probs.

Daí segue a afirmação (verdadeira) da questão:
Para dois eventos quaisquer  A e B, 

 

em que Bc é o complemento de B.

Item (2) – FALSO
Sejam dois eventos A e B, em que Prob (A) = 1/2 e Prob (B) = 1/3.
Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então Prob (B intersecao Ac) é igual a 1/6.

Fica fácil notar que a afirmativa é falsa através de um desenho ou de um exemplo. Faça o desenho, vou usar um exemplo (a jogada de um dado).

O espaço amostral é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Seja A = {2,4,6} o evento {saiu número par} e então P(A) = ½
Seja B = {1,3} o evento {saiu o número 1 ou o número 3} e sua prob é P(B) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3. Por construção, A e B são mutuamente exclusivos.
O complemento de A é o evento Ac = {1, 3, 5} = saiu número impar, com probabilidade ½ também.

O evento B intersecao Ac = Ac intersecao B = {1,3} = B e portanto sua prob. é a mesma que a de B, 1/3 (e não 1/6, como se afirma na questão),

Item (3) – FALSO
A independência para mais de 2 eventos requer mais que a condição mostrada. Para que A, B e C sejam independentes é necessário que TODAS as condições a seguir sejam satisfeitas:




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